球的体积公式推导过程_

球的体积和表面积公式

半圆体怎么计算体积

半球体的体积公式为：2πr³/3；半球体的表面积公式：3πr²。

因为，球体体积=4πr³/3 ; 球体表面积=4πr² ;圆面积=πr² ;

所以，半球体的体积= （4πr³/3） /2=2πr³/3。

推导过程：

祖_原理，在西方叫卡瓦列里原理（principio di cavalieri）。它说的是如果两个几何体在每一个相同高度处的截面积都相同，则它们的体积也相同。

从上面的图中可以看出，如果把底面半径为r、高为2r的圆柱体挖去两个高为r的圆锥，再把剩余部分与半径为r的球体进行逐层比较，可以发现二者在每个高度上的截面积都是相等的。这样一来，用圆柱和圆锥的体积公式就可以推出球体积公式了：v=（4πr³/3） /2=2πr³/3。

扩展资料

球体性质

用一个平面去截一个球，截面是圆面。球的截面有以下性质：

1、 球心和截面圆心的连线垂直于截面。

2、 球心到截面的距离d与球的半径r及截面的半径r有下面的关系：r^2=r^2-d^2

3、球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的截面截得的圆叫做小圆。

4、在球面上，两点之间的最短连线的长度，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，我们把这个弧长叫做两点的球面距离。

参考资料来源：百度百科-球体

给学生讲数学公式推导过程的作用是什么?

（1）每一个数学公式的推导,都体现出某种数学思想方法,教学中必须揭示推导公式过程中隐含的数学思想和方法,指出它的名称、内容和规律,并有意识地对学生进行训练.

数学思想是数学的灵魂,它可以迁移到数学以外的各门学科和各种工作中去.数学思想方法的教学必须贯彻明确性的原则.如等差数列和等比数列的通项公式、欧拉公式的推导过程,隐含着递归思想；诱导公式与两角和的余弦公式的推导过程,隐含着数形结合的思想；球的表面积及体积的计算公式的推导过程,隐含着极限的思想,……等等.

（2）从不同的数学思想方法的角度去认识数学公式,加深对公式的理解,为公式的灵活运用打下基础.

球体计算公式推导过程

球体计算公式推导过程用魏氏（魏德武）狂飙数学最快捷"

一，第一种从“下而上”不足近似值逼近（比实际值小）准确值推导法：设球的半径为r，半球体高的平分数为n；r1,r2,r3----rn分别为各不同圆柱饼的半径，具体推算步骤如下：根据直角三角形定理，先求出每个圆柱饼的半径得：（1）r1=根号r^2-(r/n)^2,r2=根号r^2-(2r/n)^2,r3=根号r^2-(3r/n)^2-----rn=根号r^2-(nr/n)^2.(2)然后再求出每个圆柱饼的体积之和：v=v1+v2+v3------=πr/n{r^2-(r/n)^2}+πr/n{r^2-(2r/n)^2}+πr/n{r^2-(3r/n)^2}---++----πr/n{r^2-(nr/n)^2}=πr^3/n(1-1^2/n^2+1-2^2/n^2+1-3^2/n^2----+1-n^2/n^2)=πr^3/n{n-(1^2+2^2+3^2--+--n^2)/n^2}=πr^3/n{n-n(n+1)(2n+1)/6n^2=πr^3{1-(2n^2+3n+1)/6n^2}=πr^3{1-(2+3*1/n+1/n^2)/6}=πr^3{1-(1+1/n)(2+1/n)/6}（注：当n取无穷大时1/n趋向于0)得半球的体积v=4/6πr^3后再乘以2。即：整球的体积公式v=4/3πr^3。

二，第二种从“上而下”过剩近似值逼近（比实际值大）准确值推导法：设球的半径为r，半球体高的平分数为n；r1,r2,r3----rn分别为各不同圆柱饼的半径，具体推算步骤如下：根据直角三角形定理，先求出每个圆柱饼的半径得：(一），（1）r1=根号r^2-(r-r/n)^2,（2）r2=根号r^2-(r-2r/n)^2,(3)r3=根号r^2-(r-3r/n)^2---++---（n）rn=根号r^2-(r-nr/n)^2，（二）再求出每个圆柱饼的体积之和：v=v1+v2+v3------=πr/n{r^2-(r-r/n)^2}+πr/n{r^2-(r-2r/n)^2}+πr/n{r^2-(r-3r/n)^2}---++----πr/n{r^2-(r-nr/n)^2}=πr^3/n{2/n-(1/n)^2}+πr^3/n{2×2/n-(2/n)^2}+πr^3/n{2×3/n-(3/n)^2}+πr^3/n{2n/n-(n/n)^2}=πr^3/n{2×(1+2+3--+--n)/n}-(1^2+2^2+3^2---++-n^2)/n^2=πr^3/n{n(n+1)/n-n(n+1)(2n+1)}/6n^2}=πr^3{(n^2+n)/n^2-(2n^2+3n+1)/6n^2}=πr^3(6n^2+6n-2n^2-3n-1)/6n^2=πr^3(4n^2+3n-1)/6n^2=πr^3{（4+3/n-(1/n)^2)}/6=πr^3（4-1/n)(1+1/n)/6.（注：当n取无穷大时1/n趋向于0)得半球的体积v=4/6πr^3，最后再乘以2，得：整球的体积公式v=4/3πr^3。综上所述：事实证明二种推导结果完全一致，只是前者较为简单，后者更为复杂而已，我还是建议学生采用前者更快捷！。

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